Với các ứng dụng của tích phân giá trị chủ yếu, hãy xem Whittaker and Watson,[5] Gakhov,[6] Lu,[7] hay Zwillinger.[8] Xem thêm thảo luận về phép biến đổi Poincaré-Bertrand trong Obolashvili.[9] Một ví dụ về việc trật tự của phép lấy tích phân không thể biến đổi được cho bởi Kanwal:[10]

1 ( 2 π i ) 2 ∫ L ∗ d τ 1 τ 1 − t   ∫ L ∗   g ( τ ) d τ τ − τ 1 = 1 4 g ( t ) {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\,}

với:

Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle \frac {1}{(2\pi i)^2} \int_L^* g(\tau) \ d \tau \left(\int_L^* \frac{d \tau_1 } {\left(\tau_1 - t\right) \left(\tau-\tau_1 \right)} \right) = 0 \. }

Dạng thứ hai được đánh giá bằng cách sử dụng khai triển phân số từng phần và một đánh giá bằng cách sử dụng công thức Sokhotski–Plemelj:[11]

Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle \int_L^*\frac{d \tau_1}{\tau_1-t} = \int_L^* \frac {d\tau_1}{\tau_1-t} = \pi\ i \. }

Ký hiệu  ∫ L ∗ {\displaystyle \int _{L}^{*}}  chỉ ra một giá trị chủ yếu Cauchy. Xem Kanwal.[10]